Calcul des aires — Figures 1 à 10
Niveau 3e 10 figures · Erreurs attendues · Exercices de remédiationIdentification : Longueur \(L = 5\) cm · Largeur \(l = 4\) cm
$$\mathcal{A} = L \times l = 5 \times 4 = \boxed{20 \text{ cm}^2}$$
| # | Erreur typique — résultat obtenu | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | Calcule le périmètre : 5+4+5+4 = 18 cm | R1a | Distinguer périmètre (contour, cm) et aire (surface, cm²). |
| E2 | Ne fait que 5+4 = 9 sans unité | R1a | L'aire c'est une multiplication, pas une addition. |
| E3 | Applique formule triangle : ½×5×4 = 10 cm² | R1b | Revoir quand s'applique chaque formule. Ici figure complète. |
Un carrelage rectangle 6 cm × 3 cm.
a) Calcule son périmètre (cm).
b) Calcule son aire (cm²).
c) Complète : « Le périmètre se calcule avec ___ et ___. L'aire se calcule avec ___ et ___. »
Fig A : rectangle 7×2 cm — Formule : \(L\times l\) ou \(\frac{1}{2}b\times h\) ? Aire = ______
Fig B : triangle rectangle base 7 cm, hauteur 2 cm — Formule ? Aire = ______
Identification de la hauteur commune :
Le rectangle gauche a une largeur de 3 cm et une aire de 12 cm².
$$h = \mathcal{A}_{gauche} \div L_{gauche} = 12 \div 3 = \mathbf{4} \text{ cm}$$
$$\mathcal{A}_{droit} = L_{droit} \times h = 4 \times 4 = \boxed{16 \text{ cm}^2}$$
La hauteur n'est pas donnée directement : elle se retrouve par division.
| # | Erreur typique — résultat obtenu | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | Répond directement 4 cm, confond cote et aire | R2a | Distinguer : les dimensions sont sur les flèches, les aires à l'intérieur. |
| E2 | 12 + 4 = 16 cm² (résultat juste, raisonnement faux !) | R2a | Demander de justifier la hauteur commune. Changer les valeurs. |
| E3 | 12 ÷ 4 = 3, puis 3×3 = 9 cm² | R2b | Clarifier quel rectangle fournit les données connues. |
| E4 | Bloqué : ne sait pas trouver h | R2b | Rappeler : \(h = \mathcal{A} \div L\). |
Deux rectangles côte à côte (18 cm² et ?).
a) Quelle est la hauteur commune ? \(h = \_\_ \div \_\_ = \_\_\) cm
b) Calcule l'aire du rectangle droit.
c) Si l'aire gauche était 20 cm² et la largeur 5 cm, quelle serait h ?
Largeur gauche = 2 cm · Largeur droite = 3 cm
On sait que \(\mathcal{A} = L \times h\), donc \(h = \mathcal{A} \div L\).
| Aire | L | h = ? |
|---|---|---|
| 24 cm² | 4 cm | ___ |
| 35 cm² | 5 cm | ___ |
| 30 cm² | 6 cm | ___ |
Puis : un rectangle a h=5 cm et L=7 cm. Quelle est son aire ?
Étape 1 — Trouver h :
$$h = 10 \div 2 = \mathbf{5} \text{ cm}$$
Vérification :
$$3 \times 5 = 15 \text{ cm}^2 \quad ✓$$
Étape 2 :
$$\mathcal{A} = 4 \times 5 = \boxed{20 \text{ cm}^2}$$
| # | Erreur typique | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | 10 + 15 = 25 cm² | R3a | Les aires servent à trouver h, pas à composer l'aire cherchée. |
| E2 | Prend h = 10 (l'aire !), puis 4×10 = 40 cm² | R3a | Rappeler les unités : hauteur en cm, pas en cm². |
| E3 | 10 ÷ 3 = 3,33 cm (mauvaise largeur) | R3b | Distinguer quel rectangle fournit les deux données connues. |
| E4 | N'effectue pas la vérification | R3b | Institutionnaliser la vérification comme étape obligatoire. |
| E5 | Additionne les largeurs 2+3+4=9, bloqué | R3a | L'aire de chaque rectangle = sa largeur × h. On ne fusionne pas. |
Trois rectangles, même hauteur. Largeurs : 3, 4, 5 cm. Aire 1er : 12 cm². Aire 2e : 16 cm².
a) Calcule h. b) Vérifie. c) Aire du 3e.
Si b) ne confirme pas h, recommence !
Trois rectangles, même hauteur. Aires : 15, ?, 18 cm². Largeurs : 5, 4, 6 cm.
a) Identifie le rectangle avec aire ET largeur connues. b) h = ? c) Vérif. d) Aires manquantes.
Identification de la largeur commune :
$$\ell = 18 \div 3 = \mathbf{6} \text{ cm}$$
$$\mathcal{A}_{bas} = \ell \times h_{bas} = 6 \times 4 = \boxed{24 \text{ cm}^2}$$
Même logique que la figure 2, mais orientée verticalement.
| # | Erreur typique | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | 18 ÷ 4 = 4,5 puis 4,5×3 = 13,5 cm² | R4a | Faire tourner la figure : c'est la même situation que fig 2. |
| E2 | 3+4=7, 18÷7 ≈ 2,57 (additionne les hauteurs) | R4a | Chaque rect. a sa propre hauteur. Seule la largeur est partagée. |
| E3 | 4×3 = 12 cm² (multiplie les hauteurs) | R4a | Il manque la largeur. On doit d'abord trouver ℓ. |
| E4 | Répond 18 cm² par analogie | R4b | Stratégie : «Aire ET hauteur du haut → je trouve ℓ.» |
Deux rectangles empilés, même largeur inconnue. Haut : h=2 cm, aire=14 cm². Bas : h=5 cm, aire=?
a) Quelle dimension est commune ? b) ℓ = ? c) Aire du bas ?
| Aire | Hauteur | Largeur | |
|---|---|---|---|
| Rect. haut | 18 cm² | 3 cm | ? |
| Rect. bas | ? | 4 cm | ? |
a) Quelle case remplir en premier ? b) Compléter le tableau. c) Aire du bas.
Stratégie — soustraction :
$$\mathcal{A}_{L} = 48 - 6 = \boxed{42 \text{ cm}^2}$$
| # | Erreur typique | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | 8×6 = 48 cm² (oublie de soustraire) | R5a | Colorier la partie réelle et la partie manquante. |
| E2 | Décompose en 2 rects → 42 cm² (résultat juste, méthode fragile) | R5a | Valider en vérifiant les deux méthodes. |
| E3 | 8+6+3+2 = 19 (périmètre) | R5b | Refaire distinction périmètre/aire sur figure en L. |
| E4 | (8−3)×(6−2) = 5×4 = 20 cm² (soustrait longueurs) | R5b | La soustraction porte sur les aires, pas les côtés. |
| E5 | 48 − 3 = 45 (soustrait une longueur) | R5a | Le coin retiré est un rectangle ; son aire = 3×2. |
Rect. 7×5 cm amputé d'un coin 2×3 cm. a) Colorier. b) Aire du grand rect. c) Aire du coin. d) Aire en L.
Figure en L : grand rect. 6×4 cm, coin retiré 1×2 cm. a) Périmètre. b) Aire. c) «Le périmètre est en ___, l'aire est en ___².»
L'aire ne se calcule jamais en soustrayant des longueurs !
h₁ = 3 cm (donnée).
(1) w₁ = 6 ÷ 3 = 2 cm
(2) w₂ = 9 ÷ 3 = 3 cm
(3) h₂ = 10 ÷ 2 = 5 cm
$$\mathcal{A}_D = w_2 \times h_2 = 3 \times 5 = \boxed{15 \text{ cm}^2}$$
Raisonnement en cascade : chaque aire connue «déverrouille» une dimension.
| # | Erreur typique | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | Bloqué dès le départ | R6a | La seule entrée est h₁=3 cm. Chercher la case avec aire ET dimension connues. |
| E2 | Inverse lignes et colonnes | R6a | Flèche rouge sur la ligne connue, bleue sur la colonne. |
| E3 | 6+9+10 = 25 cm² | R6b | Aucune relation additive directe. Revenir à A=L×h. |
| E4 | h₂ = 9÷3 = 3 cm (mauvaise colonne) | R6b | h₂ se retrouve via le rect. C et w₁. |
Grille 2×2, largeur col. droite = 4 cm. Aires A=8, B=12, C=20 cm². a) Quelle dimension est connue ? b) h₁, w₁. c) h₂, aire D.
(1) w₁ = 6 ÷ ___ = ___ (2) w₂ = 9 ÷ ___ = ___ (3) h₂ = 10 ÷ ___ = ___ (4) D = ___ × ___ = ___ cm²
Étape 1 :
$$h = 21 \div 7 = \mathbf{3} \text{ cm}$$
Étape 2 :
$$\mathcal{A}_{petit} = 4 \times 3 = \boxed{12 \text{ cm}^2}$$
La hauteur commune est implicite : elle ne figure pas sur la figure.
| # | Erreur typique | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | Bloqué : ne voit pas la hauteur commune | R7a | «Que sais-tu du grand rectangle ?» Tracer la hauteur. |
| E2 | 21 ÷ 4 = 5,25 cm (utilise largeur du petit) | R7a | On divise l'aire d'un rectangle par sa propre largeur. |
| E3 | 21 − 4 = 17 | R7b | Pas de relation additive. Trouver h d'abord. |
| E4 | 21×4÷7 = 12 cm² (résultat correct, par proportionnalité) | R7b | Valider mais reformuler en passant par h. |
Grand rect. (L=9 cm, aire=36 cm²) accolé à un petit (L=5 cm). a) Surligne la hauteur commune. b) h = ? c) Aire du petit.
On ne mélange jamais les données de deux rectangles différents.
(1) Grand : 8 cm, 24 cm². Petit : 3 cm → h = ? → aire = ?
(2) Grand : 6 cm, 30 cm². Petit : 4 cm → h = ? → aire = ?
(3) Grand : 10 cm, 40 cm². Petit : 7 cm → h = ? → aire = ?
Étape 1 :
$$h = 10 \div 2 = \mathbf{5} \text{ cm}$$
Vérification :
$$5 \times 5 = 25 \text{ cm}^2 \quad ✓$$
Étape 2 :
$$\mathcal{A} = 3 \times 5 = \boxed{15 \text{ cm}^2}$$
| # | Erreur typique | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | 10 + 25 = 35 cm² | R8a | Les aires servent à retrouver h, pas à composer l'aire cherchée. |
| E2 | Trouve h, saute vérif, réutilise mauvaise largeur → 6 cm² | R8b | La vérification est une étape explicite obligatoire. |
| E3 | Calcule h avec le 2e rect, vérif absente | R8b | Confirmer h avec le 1er rectangle. |
| E4 | Prend h=10 (l'aire !), 3×10 = 30 cm² | R8a | Hauteur en cm, pas cm². h = 10÷2 = 5 cm. |
| E5 | 10 ÷ (2+5) ≈ 1,43 cm | R8a | On divise par la largeur d'un seul rectangle, pas la somme. |
3 rects, même h. Largeurs : 4, 6, 5 cm. Aire 1er : 20 cm². Aire 2e : 30 cm². a) h avec le 1er. b) Vérifier. c) Aire du 3e.
On ne divise jamais par 4+6 ou 4+6+5.
Cas 1 : A: 3 cm, 12 cm² → h=? · B: 4 cm, 16 cm² → h=? · Coïncident ? ☐ Oui ☐ Non
Cas 2 (piège) : A: 2 cm, 10 cm² → h=? · B: 3 cm, 18 cm² → h=? · Coïncident ? ☐ Oui ☐ Non
Si non : les rectangles ne partagent pas la même hauteur !
Identification :
$$\mathcal{A}_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = \boxed{10 \text{ cm}^2}$$
| # | Erreur typique | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | Oubli du ½ : 5×4 = 20 cm² | R9-1 | Le triangle est la moitié exacte du rectangle b×h. |
| E2 | ½×3×4 = 6 cm² (largeur du rect. droit) | R9-2 | Identifier et surligner les 3 sommets du triangle. |
| E3 | Confond hauteur et hypoténuse | R9-1 | La hauteur est toujours perpendiculaire à la base. |
| E4 | 20 + 12 = 32 cm² | R9-3 | Distinguer les données (rectangles bleus) de l'inconnue (triangle). |
| E5 | 20 − 12 = 8 cm² | R9-3 | Les régions sont indépendantes. |
Rect. 6×5 cm, sa diagonale le partage en deux triangles. a) Aire du rect. b) Aire d'un triangle. c) Vérifier avec ½×b×h.
Figure avec rect. bleu (12 cm²) et triangle hachuré. a) Identifier A, B, C. b) Surligner base (rouge) et hauteur (bleu). c) Aire du triangle.
Aires données (24 et 8 cm²). a) Je connais ___ et ___. Je cherche ___. b) Quelles mesures dans ½×b×h ? c) Calculer.
Les aires données ne servent pas dans la formule !
Structure : △ gauche (10 cm²) + rect. (25 cm², larg.=?) + △ droit (15 cm²)
Étape 1 — Trouver h :
$$15 \times h = 2\times10 + 25 + 2\times15 = 75 \Rightarrow h = 5 \text{ cm}$$
Étape 2 :
$$\text{largeur} = 25 \div 5 = \boxed{5 \text{ cm}}$$
Vérif. : b_L = 20÷5 = 4 cm · b_R = 30÷5 = 6 cm · 4+5+6 = 15 cm ✓
| # | Erreur typique | Exo | Remédiation |
|---|---|---|---|
| E1 | Répond 50 cm² (cherche une aire au lieu d'une longueur) | R10a | Relire la consigne : la réponse est en cm. |
| E2 | Bloqué : deux inconnues (h et largeur) | R10b | «Si tu connaissais h, saurais-tu trouver la largeur ?» |
| E3 | 50 ÷ 15 ≈ 3,33 cm (additionne sans doubler) | R10b | A_triangle = ½×b×h → b×h = 2×A. Il faut doubler. |
| E4 | Répond 15 cm (confond larg. rect. et base totale) | R10a | La base totale est la somme des 3 bases. |
| E5 | Applique ½×b×h au rectangle aussi | R10b | La formule avec ½ s'applique uniquement aux triangles. |
| E6 | h=5 correct mais divise la mauvaise aire | R10a | L'inconnue est la largeur du rectangle central (25 cm²). |
Rect. flanqué de deux triangles. h = 4 cm connue. Aires : tri. g. = 8 cm², rect. = 20 cm², tri. d. = 12 cm². a) Inconnue en cm ou cm² ? b) Largeur du rect. central. c) b_L et b_R. d) Vérif.
Base totale = 12 cm. Aires : tri. g.=6, rect.=15, tri. d.=9 cm². a) b_L×h = 2×___ · b_R×h = 2×___ · larg.×h = ___. b) 12×h = ___. c) h, puis largeur.
Astuce : les triangles se «doublent» pour retrouver b×h.